数学
（2026.4.14 〜）
2026.5.10 記
「複素数平面の補足」
高校で習う複素数平面というのは、要するに、不定を定として扱って実虚を同一平面（横軸と縦軸）で大きさとして捉えている、という事。
「何だか話がよく分からない」「混乱する」という方の為に、もう一度くどくど述べると、横線１本を考えてもらってそれが実数軸だ。この軸上には二乗したら−（マイナス）になる数というのは存在出来ない。ゆえに、軸を実軸と直交させて一本立てる事によってこの不思議な数を示す。これが虚軸だ。「虚数単位」と言われても、どのような数直線上の幅か不定だ。実数変数のXとは、実軸上で色々な値を取る可能性によって不定の状態と言えるが、例えば、4を入れたら4（の幅）とXはピタリと4に定まる。しかし、虚軸上の変数に、変数というか"定数というものがこれは実数概念によって定められた数"であるわけだから、まず、虚軸上で「i」の数直線上の幅というものが定め切れていない状態な訳で、これに4という実数概念を入れてやると、幅が決められない不定の性質の「i」を4と見做す、というような捉え方となる。複素平面の虚軸上に任意の幅α（αを1と置いてやれば）を取ってやって、それの2倍、3倍…と、虚数単位として設定してやってるわけだから、それは実軸（の概念）そのものだよね？ゆえに、そのよう設定した軸上で「i」の幅が固定されてしまう事自体、矛盾しているのです。とどのつまりは、不定の「i」を4と見做すというのは、「4i」と捉えてよく、「αi」という事は、それをαで分割してやったら「i」になるわけだから、ここで注意したいのは、複素平面だと、虚軸上にi,2i,3i…と並んでいるが、iというのは固定（された幅）と考えると矛盾する事は先に述べたので、i自体が不定の幅という事。このように解釈する。それが2倍（不定幅の「i」が二つありますよ）3倍…と虚軸上に並んでいる。
そこからして、「i」を固定数（不定性、変数性を無視して）として処理しているのが複素平面だ。
＊変数として、とは、定める事が出来ない性質を変数と見做して扱う、という意味。
（2026.5.10 了）
2026.4.30 記
「ユークリッド原論について」
ユークリッド原論からも見直さなければならないと申しました。要するにその話と同じと言ってよい。冒頭の定義において、点や線の定義が与えられていますが、この定義や公準等と「無限小」概念は切り離せるものではない。
『ユークリッド原論』冒頭部より
１、点とは部分をもたないものである。
２、線とは幅のない長さである。
３、線の端は点である。
４、直線とはその上にある点について一様に横たわる線である。
５、面とは長さと幅のみをもつものである。
６、面の端は線である。
⋯（以下省略）
公準
1、任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
⋯（以下省略）
1、点とは部分を持たないもの
物理の無限小の概念より、正確に点が考察定義されますが、ここでは数学なので先の実数の稠密性（ここでは連続と同じ意味で使っている）より、任意のN次元は点（以外の現次元より低次側も含む）へと収束する際にその現次元を保ったまま収束します（定義とする：”大きさ”の収束）ので、2次元なら２次元体のまま、3次元なら3次元体のまま、無限に小さくなっていきますが角や形状は（の概念が）保存されているという事です。ゆえに、どこまで小さくしても「部分を有するもの」から「部分をもたないもの」に遷移出来ません。
２、線とは幅のない長さ であり、３、線の端は点であって かつ、４、直線が点上に横たわっている
線には幅が無く、その端が点である事から、「部分をもたないもの」点には幅がありません。
公準より
任意の点から任意の点へ直線を引く
連続的に、「部分をもたないもの」から「部分を有するもの」に遷移する、としています。
＊当然、鉛筆で線を引くという話ではない。鉛筆というのは、1点を打っても拡大すると小さい面積です。紙面上に鉛筆の先を幅の無い点へとプロット出来ません。
ゆえに、
「無限小とは、幅が0であって、そこから連続的に幅を積算可能な、あらゆる数より小さい「数」」
という解釈が引き出される。数学とは無限小をそのように解している、何も私がそう思っているだけという事ではなくて、いや、そうなのですけれど、そう解釈するしかない。それで原論を見てみても、やはりそうだ、という話です。
＊ということは、数学では、「無限小は０の事ではない」という主張が一般的だと思うが、「無限小は0次元の点であって０ではない」などと、話が混乱しています。『原論』のここに（冒頭のすぐです）、無限、無限小、無限数、連続の概念を見出して下さい。
結論としては、妥協してそのように定義している、という話に終始します。0から0.000…（どのような小数点以下も）1への遷移が、あやふやです。幅があるのかな、無いしな…、0かな0じゃないけど…、とそんな感じ。「無限に続いているが完結している数」としての無限小は無限の概念を2点間より定義される数へと落とし込んだ概念と言えます。
＊数学の計算上ではそれで良くても、空間の次元解析としては良くない。
（2026.4.30 了）
2026.4.29 記
「次元についての論点のまとめ」
ヒルベルトが「有限次元を無限次元へと拡張させてヒルベルト空間を構築した」との事ですが、彼がどのような論法で無限次元への拡張を論証したのかはさておき、有限のユークリッド次元というものは、1次元、2次元、3次元…という空間を、さらに、4,5,6…と増やしていって、任意の有限なるN次元まで拡張する事に関しては了解されているものとします。そこから無限次元への拡張が可能か否かという話となると、数学の計算に出てくる「無限大」の概念が確立していて、次元の操作手続である微積分も無限の概念上に立脚しておりますので、「→∞ まで増やしていけばいいだろう」で話は終わるような気がします。例えば、初期設定として5次元空間が設定されているとします。その空間内に2次元の円等の面の大きさが存在しています。この円を積分して3次元体を生成しようと試みる際に、5次元の空間設定なので、3次元目とするべき”高さ”が既に軸として空間として存在している訳ですから、何も無限小の概念を持ち出さずとも、十分に微小なる量dz で積分をかけてやれば（微少片を投げてやれば）3次元体へと積み上げることは可能と考えます。問題視されるべきはこの場合だと5次元から6次元への拡張です。話を分かりやすくする為2次元から3次元への拡張に置き換えますが、3次元の高さの軸も空間も設定が無いのです。つまり高さ（3次元目）は0なのです。どうやって0を高さへと積算させるのか？と、そういう事を私は申しています。空間の設定が無いので微少量も投げられませんし困ってしまいますが、無限小という概念より、次元間を移動出来ますので（微積分で）、あやふやな概念ですが、「幅が0の積算可能な数」のような定義と考える他なく、ゆえに0から厚みを出して積算をかけられるイメージとなります。つまり、次次元へ積分操作で拡張出来る理屈となります（なるというか、そうしている印象）。（仮の次軸など想定設定して目星をつけて）積分をかけて軸を空間を生み出す感じです。
なので、無限の概念を導入している段階で、無限次元への拡張はユークリッド空間としては終わっている感じに思えるが、そこに複素数が関わってくるので話が複雑なのでしょう。言うまでもなく数学的な設定等が当然難しい。
数学は無限に関して、上記の様な事を考えていないのかもしれないが、しかし何にせよ、無限を数の様に扱う事と、その概念を微積分に持ち込む事とは別の問題であろうし、そもそも「無限」というのは数では無い訳だから「無限」の概念を使って微積分する曖昧さに関する事と、空間の設定が無い所に当たりをつけて想定して軸を仮設して積分をかけてやると言っても、それは数学的に厳密さというか、どうなのかな？と思う（仮設する所が無い）。0から連続的に厚みを出せる積算可能な事と、例えば、設定した空間が曲がったりせずちゃんと次次元になるのか？等、さらには、無限の概念を一切使えないような状況を指定されたとして、有限次元からの拡張の際、無限小も使えないので、この場合どのように考えるのか。（ただ、設定として「無限」はやめてくれ、と言ってるだけ）
結局、虚数実数操作に行き着く。実空間がある所には虚数空間があるとして（実軸と虚軸）、5次元の次の設定が無い6次元目、次次元は虚軸として数学的に既に設定されています。ゆえに、数学の数学空間の次元拡張を検討する際、虚軸に触れないのは自然な考え方ではない。
＊難しく考えずに、有限のN次元を設定して、N次元とN＋α（αも有限数）次元の包摂下にあるN次元のケース（上の5次元の設定下での2次元）と、無限次元の包摂下でのN次元のケースが考えられる。N次元の次元を上げ下げする操作はどうなのか？と言っているだけ。
（2026.4.29 了）
2026.4.28 記
「ユークリッド次元の無限次元への拡張について」
私は先のように（「数の包摂関係について」）設定しましたが、通説的に、ユークリッド次元というのは、有限の実数次元の事と考えてよいでしょう。ここで、これの無限次元への拡張を考えます。すると、まず”無限”というのが先の（「無限大と無限小」のまとめ）１、２のどちらなのか？という話になり、1,2…と無限に増やしていくので、これは2の →∞ です。N次元を無限次元としてやった、で話が終わりそうですが、このように設定してしまうと、後から加えようにも、もはや虚軸が実軸（実空間）に直交する余地が（無限の定義より）残っていませんので、数空間の拡張として数の定義と矛盾します。先の数のルート構造と矛盾がないように拡張しなければなりませんので、ユークリッド空間を「そもそも当初から虚数空間を含むもの」と再定義しなければなりません。数の包摂関係においては並んでルート位置なので、この様に考えなければなりません。
注意点として、「複素数平面の無限次元への拡張と部分としてユークリッド空間を含む」などという話とは別でありまして、それは複素平面の話です。複素数平面を実次元ないし虚次元構成と見て、どんどん増やしていって、共に無限次元に到達するというのならば、無限大において界が二分される（実空間と虚空間の二つに切られる）のはおかしいと思うかもしれませんが、無限大（→ ∞）の「数」と見て二分されると考えれば矛盾を逃れる様にも思えます。
＊しかし、申したように、そもそもが「なり続けるという概念と完結概念の両方を有する」といった、二分する線を引くなど、空間の描写にはそぐわない概念なので、矛盾をそういうものとして定義しているのですから描写など出来ません。ということは、空間としての構成は基本的に不可能と考えるべきではないでしょうか。
作為的な無限大、無限小の概念の上にユークリッド空間を構成するよりも、まずは、自然に、有限次元と定義するべきです。もっと言うならば、有限次元（ユークリッド空間）の微積分の実虚数操作を確立してから、無限次元の操作（無限大、無限小）を考えるべきではないでしょうか。
＊数学の「無限」自体があやふやな概念なので、無限次元に関してはさておき、という感じです。有限次元の定義もあやふやです。なので、なんとも言えない感じです。「次元についての論点のまとめ」を参照して下さい。
（2026.4.28 了）
「数の包摂関係について」
上図 AIより生成 下図 『モノグラフ公式集』（科学新興新社）の冒頭ページより
高校の数学等で一般的によく知られる数の分類、数の包摂関係の表としては、大体上図に示される通りです。ところで、物理を考える際、i から実数が生成されるので、「i つまり虚数の方が複素数よりも先に（ルート側に）来るのではないか？」と着眼されるかもしれませんが、物理に限って述べても、鶏が先か卵が先かという話となりその観点からは虚数実数のどちらが数として先んじるのかは決めかねます。ここでは数学の話なので、数学としての「数」は、まずは「虚数、実数」が一番ルート側に配置されるべきです。もっとも、数は現実世界から生まれた抽象的概念なので、あえて抽象世界が不変的に現象界よりも先んじて存在するもの、などと、イデアの様な話となりますが定義次第では虚数を独立させて一番ルート側に配することも可能です（1本等の実数概念ではない虚変数軸？）。しかし、現実から（を伴い）生まれた抽象界なので、そこまで哲学的な思弁を持ち込まずに、素直に、ルート側には、「実数、虚数」と、そして、実数概念は数直線（大きさ）の概念や、ユークリッド次元の概念を伴うものですから、ここに0と∞ をも設定します。
数の分類 構造のルートは、「実数、虚数、0、無限大」
＊尤も、虚変数ではなく、虚数単位数（数学一般的）と解するなら、先ず実数があってそれを使って虚数を定義するわけだから、「実数−虚数」という並びになるはずです。
そして、このルートの下位に「複素数」が配置されるべきです。なぜならば、複素数というのは、複素平面を了承した上で成り立つ数（a + bi）として定義されているからです。しかし、これは実数空間と虚数空間の足し合わせによって構成される空間なので、虚数の定義としては「実数数直線上で表すことの出来ぬ数」ということなので、幅の足し合わせである加法が成り立ちません。実数だけ、虚数だけ、という事で、加法が成り立たないのであって、何かしらの拡張を経て複素平面が構成されます。ゆえに、この「複素数」が一番ルートに置かれ、その下位に「実数、虚数」が配される事には違和感を覚えます。整数の所に「0」が配置されている点も、どうして0の位置がそこなのか？と、あやふやです。もう一度述べますが、虚数の定義の段階で、実軸と直交しますので、その直交点は実軸上に幅を有してはいけませんので、幅は無いもの、つまり0が定義されていなければ、虚数の定義が成り立ちません。ゆえに、包摂関係のルートの段階で0は既に設定されるべきです。
さらに言うと、下位に配された「複素数」は、その下位構造として
複素数 − 実数、虚数、複素数
などと構成されるべきですが、これはあくまで、複素数平面を了承した数（複素数の定義）としての、実数（実数部しかない場合）等です。
＊数の分類表においては、身近な右側から数の概念を順に左側へ拡張していったと読んでもいいが、それの方が教育上一般的なのか、より統合的な数の体系としては一番左側が下位を包括する事になるから上記のように考えている。ここで主張したいのは、作為的ではないという事であり、であるからしてルートの虚数はイマジナリー空間へと拡張される。複素数（平面）の下位の虚数ではない。それは実部と虚部において空間を（つまり大きさを、a+bi）構成しているものであって、その意味での制約が有る。
＊上の「作為的ではない」とは、あくまでイマジナリー空間を導く為のルート部の虚数設定に関して作為的ではない、という意味であり、数概念の拡張という意味において「無限数」と「虚数」は共に実数直線上で表し得ないものに対して作為的と言えなくもないが、あくまでも実数概念からの拡張である。
（2026.4.28 了）
「無限大と無限小」のまとめ
＊下記の概念が混乱しており、数学と物理も混同している。
「数」とは数直線上の2点間において、大きさ（長さ）として表す事が出来るもの
１ 無限大 ∞
数直線上の2点間で表す事が出来ない。なので、大きさ、小ささとは違った概念であり、故に「数」とは異質。
２ → 無限大（→ ∞）
数学の発散。数直線上において稠密性を有する「数」から連続的に到達する概念。あらゆる数より大きい数。
連続ゆえに、2点間で表す事が出来る「数」という概念が継承されており、かつ数学空間なので物理のような時間的な概念は完結している（無い、完成している、抽象的）と見做すべきだから（発散中において、自由に発散途中で止める為の時間パラメータを有している等とは考えない。発散速度が速い遅いという話においても、あくまでも完結しているものと見做すべき）、あらゆる数より大きく、完結している、2点間の「数」と定義されるわけであって、ゆえにN次元のようなものを考える際、Nを”無限次元”とした場合のおいて、想定されるべきは１無限大ではなく、２ →∞ の方であり（1本、2本…と軸が増えていくので）、そして、もうどこにも次元軸が立つ余地は無く埋めつくされてしまってしまっているのである。
注意されたいのは、「無限大 ∞」とは別の概念であるという事だ。「数」である。
３ 無限小 ０
数直線上の2点間で表す事が出来ない。なので、大きさ、小ささとは違った概念であり、「数」と異質であることは１無限大と同様。数直線上の稠密性（ここでは連続性と同じ意味で使っている）から判断して、この３無限小とは０以外に無い。
４ → 無限小（→ 無限小）
数学の収束。数直線上において稠密性を有する「数」から連続的に到達する概念。あらゆる数より小さい数。
連続ゆえに、2点間で表す事が出来る「数」という概念が継承されており、かつ数学空間なので物理のような時間的な概念は完結している（無い、完成している、抽象的）と見做すべきだから（収束中において、自由に収束途中で止める為の時間パラメータを有している等とは考えない。収束速度が速い遅いという話においても、あくまでも完結しているものと見做すべき）、あらゆる数より小さく、完結している、2点間の「数」と定義される。
５ 稠密性による相対性
数直線上から連続的（稠密）に到達し得ないのは１無限大と３無限小である。この実数の有する連続性により、数学の空間（数直線）は”抽象的”と捉えられるべきであり、ゆえにここから保証される形で「幅、長さ」「角度」の概念は数学空間（ユークリッド空間）において保存されると考えるべき。つまり、大小あれど、拡大縮小に際し四角形は四角形のままであり続ける。そして、大小とは、数直線上において（ここでは負数を除く）2点間の幅で示されるわけだから、あくまでの相対的なものである。10000は絶対的に大きく、0.00001は絶対的に小さい、という事ではない。この相対性を崩して定義したのが２→無限大、４→無限小 である。
＊２ないし４の「完結」という意味は、あくまで、「あらゆる数より大きい数」「あらゆる数より小さい数」として完結した、という意味に留まるものであって、１無限大、３無限小への到達が完結した、という意味ではない。それならば「数」であることと矛盾する。故に、４→無限小に関しては、あくまでも”幅”が残っているとする概念である以上、例えば、”立体の高さを消し尽くす”と解す事は出来ない。ここら辺があやふやなのが数学であって、２ないし４の概念は、あくまでそのように定義したに過ぎず（あらゆる数より大きい小さい）、稠密性から考えると連続的であり続ける訳だからそのような数には到達不能に思えるが、あくまでもそう定義したのである（つまり、大きくなり続ける小さくなり続けるという概念と完結概念の両方を有するもの）。
＊あらゆる数より小さい数の幅は０としてかつ積算可能と解しているのが数学の微積分であろうし、曖昧である。
（2026.4.28 了）
2026.4.21 記
「複素数平面」に関して
１ ２乗して−１になる数は、実数の直線上において定義されない。つまり”2点間の幅として定義出来ない”
２ 実数軸上に無いので、”直交した”軸上において新たに定義した数は示されるものの、未だ幅は定義されてない。
３ この新たな数を i として虚数としよう。幅は実数の1に対応するように定義し、虚数単位としよう。
３からが現行の数学の虚数、複素平面です。あくまで、長さを実数概念の１としてやろう（そう決めた）のであって、２の状態が虚数（軸変数）だと言う主張です。実数の変数は、仮にXとおくと、これは幅は有る（無限とかは除く）もののその値が未定なのであって、15とか10299とか決めてやったら、その時点で幅が定まるのです。虚数の変数は、これを i とおくと、これは幅という概念自体が未定なのです。未定ゆえに不定変数として振る舞う。実数の概念を入れてやれば、それを幅としてそこで定まるのです。
ここを踏まえて、軸変数なので、微積分のアプローチが”自然に”出てくる、という主張です。３まで行って固めてしまったので、このアプローチが出て来ていないのです。
（2026.4.21 了）